شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | اصل شمول و عدم شمول](https://dl.my-dars.com/upload/image/03 (5)1728768550.jpg)
تعداد عضو هایی که به مجموعه A یا به مجموعه B تعلق دارند برابر است با:
\(\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right|\)
واضح است که تعداد عضو هایی که به هیچ یک از مجموعه های A و B تعلق ندارند برابر است با:
\(\left| {\bar A\bar \cup \bar B} \right| = \left| {\bar A \cap \bar B} \right| = \left| {(A \cup B)'} \right| = \left| S \right| - \left| {A \cup B} \right|\)
تعداد اعداد طبیعی کوچکتر یا مساوی n که بر k بخش پذیرند برابر است با:
خارج قسمت تقسیم = \(\left[ {\frac{n}{k}} \right]\)
مثال
چند عضو از مجموعه \(S = \{ n \in \mathbb{N}|n \le 400\} \) نه بر 2 و نه بر 3 بخش پذیرند؟
\(\begin{array}{l}S = \{ 1,2,3,...,400\} \to \left| S \right| = 400\\ \div 2 = A \to \left| A \right| = \left[ {\frac{{400}}{2}} \right] = 200\\ \div 3 = B \to \left| B \right| = \left[ {\frac{{400}}{3}} \right] = 133\\ \div 3,2 = A \cap B \to \left| {A \cap B} \right| = \left[ {\frac{{400}}{{2 \times 3}}} \right] = \left[ {\frac{{400}}{6}} \right] = 66\\\left| {A \cup B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| - \left| {A \cap B} \right| = 200 + 133 - 66 = 267\\\left| {(A \cup B)'} \right| = \left| S \right| - \left| {A \cup B} \right| = 400 - 267 = 133\end{array}\)
تعداد عضو هایی که حداقل به یکی از سه مجموعه A یا B یا C تعلق دارد برابر است با:
\(\begin{array}{l}\left| {A \cup B \cup C} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {A \cap B} \right| - \left| {A \cap C} \right| - \left| {B \cap C} \right| + \left| {A \cap B \cap C} \right|\\\left| {{{\left( {A \cap B \cap C} \right)}^\prime }} \right| = \left| {A' \cap B' \cap C'} \right| = \left| S \right| - \left| {A \cup B \cup C} \right|\end{array}\)
مثال
چند عدد طبیعی مانند n به طوری که \(1 \le n \le 350\) وجود دارد که بر هیچ یک از اعداد 4 و 5 و 6 بخش پذیر نباشد؟
\(\begin{array}{l}\left| S \right| = 350,\left[ {4,5} \right] = 20,\left[ {4,6} \right] = 12,\left[ {5,6} \right] = 30,\left[ {4,5,6} \right] = 60\\\left| A \right| = \left[ {\frac{{350}}{4}} \right] = 87,\left| B \right| = \left[ {\frac{{350}}{5}} \right] = 70,\left| C \right| = \left[ {\frac{{350}}{6}} \right] = 58\\\left| {A \cap B} \right| = \left[ {\frac{{350}}{{20}}} \right] = 17,\left| {A \cap C} \right| = \left[ {\frac{{350}}{{12}}} \right] = 29,\left| {B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{350}}{{30}}} \right] = 11\\\left| {A \cap B \cap C} \right| = \left[ {\frac{{350}}{{60}}} \right] = 5 \to \left| {A \cup B \cup C} \right| = 163 \to \left| {A' \cup B' \cup C'} \right| = 350 - 163 = 187\end{array}\)
اگر A و B دو مجموعه باشند، تعداد توابع از A به B برابر است با:
\({\left| B \right|^{\left| A \right|}}\)
مثال
چند تابع از مجموعه \(A = \{ {a_1},{a_2},{a_3}\} \) به مجموعه \(B = \{ {b_1},{b_2}\} \) می توان نوشت؟
\(\left| A \right| = 3,\left| B \right| = 2 \to {\left| B \right|^{\left| A \right|}} = {2^3} = 8\)
اگر \(\left| A \right| = m\) و \(\left| B \right| = k\) با شرط \(m \le k\) تعداد توابع یک به یک از مجموعه A به مجموعه B برابر است با:
\({(k)_m} = \frac{{k!}}{{(k - m)!}}\)
مثال
به چند طریق می توان 4 خودکار متفاوت را بین 8 نفر توزیع کرد به شرط آن که هیچکس بیشتر از یک خودکار نداشته باشد؟ (به هر نفر حداکثر یک خودکار برسد)
تعداد حالت های ممکن \({\left( 8 \right)_4} = \frac{{8!}}{{4!}} = 1680\) که معادل است با پیدا کردن تعداد تابع های یک به یک از مجموعه ای 4 عضوی به مجموعه ای 8 عضوی
تابع f از مجموعه A به مجموعه B را پوشا می نامند هر گاه برد تابع f، شامل کل اعضای B باشد، به عبارت دیگر به هر عضو B یک پیکان رسم شود و آن را به صورت زیر نشان می دهند.
\(\begin{array}{l}A = \{ {a_1},{a_2},...,{a_n}\} ,B = \{ {b_1},{b_2},...,{b_n}\} \\f:A \to B\\{R_f} = B\end{array}\)
برای پیدا کردن تعداد تابع های پوشا از مجموعه n عضوی A به مجموعه m عضوی B از فرمول های زیر استفاده می کنیم که همان اصل شمول و عدم شمول است:
\(\begin{array}{l}{A_j} = \{ f:A \to B|f({a_i}) \ne {b_j},1 \le i \le n,1 \le j \le m\} \\\left| S \right| = {\left| B \right|^{\left| A \right|}} = {m^n},\left| {{A_1}} \right| = \left| {{A_2}} \right| = ... = \left| {{A_m}} \right| = {2^m}\\\left| {{A_1} \cap {A_2}} \right| = \left| {{A_1} \cap {A_3}} \right| = ... = \left| {{A_2} \cap {A_3}} \right| = ... = 1,\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3} \cap ... \cap {A_m}} \right| = 0\\\left| {{{\bar A}_1} \cap {{\bar A}_2} \cap ... \cap {{\bar A}_m}} \right| = \left| {{{\bar A}_1}\bar \cup {{\bar A}_2}\bar \cup ...\bar \cup {{\bar A}_m}} \right| = \left| S \right| - \left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_m}} \right|\end{array}\)
مثال
با استفاده از اصل شمول و عدم شمول، تعداد توابع پوشا از یک مجموعه 4 عضوی به یک مجموعه 3 عضوی را بدست آورید.
\(\begin{array}{l}{A_j} = \{ f:A \to B|f({a_i}) \ne {b_j},1 \le i \le 4,1 \le j \le 3\} \\A = \{ {a_1},{a_2},{a_3},{a_4}\} ,B = \{ {b_1},{b_2},{b_3}\} \to \left| A \right| = 4,\left| B \right| = 3\\\left| S \right| = {3^4} = 81,\left| {{A_i}} \right| = {2^4} = 16 \to \left| {{A_i} \cap {A_j}} \right| = 1,\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap {A_3}} \right| = 0\\\left| {{{\bar A}_1} \cup {{\bar A}_2} \cup {{\bar A}_3}} \right| = \left| S \right| - \left| {{A_1} \cup {A_2} \cup {A_3}} \right| = 81 - \left( {16 + 16 + 16 - 3 + 0} \right) = 36\end{array}\)
تعداد تابع های پوشا از مجموعه m عضوی A به مجموعه 3 عضوی B از فرمول زیر بدست می آید:
\(\begin{array}{l}\left| A \right| = m,\left| B \right| = 3\\f:A \to B,{R_f} = B\\{3^m} - (3 \times {2^m} - 3)\end{array}\)
مثال
تعداد تابع های پوشا از مجموعه 4 عضوی A به مجموعه 3 عضوی B چند تا است؟
\(\begin{array}{l}m = 4\\{3^4} - (3 \times {2^4} - 3) = 36\end{array}\)
تهیه کننده: عادل نقدی
